previous year question papers gate in Hindi – GATE 1998 Relation The binary relation R.
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GATE CSE 1998 के प्रश्नपत्र में एक महत्वपूर्ण प्रश्न था जो बाइनरी रिलेशन (Binary Relation) पर आधारित था। यह प्रश्न सेट थ्योरी और एल्जेब्रा (Set Theory & Algebra) के अंतर्गत आता है।
🧾 प्रश्न विवरण:
प्रश्न: सेट A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} पर परिभाषित बाइनरी रिलेशन RR निम्नलिखित है:
R={(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}R = \{(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}
प्रश्न: इस रिलेशन RR की कौन-कौन सी गुणधर्म (properties) सत्य हैं?
विकल्प:
A. Reflexive, Symmetric and Transitive
B. Neither Reflexive, nor Irreflexive but Transitive
C. Irreflexive, Symmetric and Transitive
D. Irreflexive and Antisymmetric
🔍 विश्लेषण:
1. Reflexive (स्व-सम्बन्धी):
एक रिलेशन रिफ्लेक्सिव होता है यदि सेट के प्रत्येक तत्व aa के लिए (a,a)∈R(a,a) \in R हो।
- यहाँ (1,1),(2,2),(3,3)(1,1), (2,2), (3,3) मौजूद हैं, लेकिन (4,4)(4,4) अनुपस्थित है।
- ❌ निष्कर्ष: रिलेशन रिफ्लेक्सिव नहीं है।
2. Symmetric (सममित):
यदि (a,b)∈R(a,b) \in R होने पर (b,a)∈R(b,a) \in R भी हो, तो रिलेशन सममित होता है।
- उदाहरण के लिए, (2,1)∈R(2,1) \in R, लेकिन (1,2)∉R(1,2) \notin R।
- ❌ निष्कर्ष: रिलेशन सममित नहीं है।
3. Transitive (सांक्रामक):
यदि (a,b)∈R(a,b) \in R और (b,c)∈R(b,c) \in R होने पर (a,c)∈R(a,c) \in R भी हो, तो रिलेशन ट्रांजिटिव होता है।
- उदाहरण के लिए, (2,1)(2,1) और (1,1)(1,1) मौजूद हैं, जिससे (2,1)(2,1) पहले से ही मौजूद है।
- अन्य सभी संभव संयोजनों के लिए भी यह गुण सत्य प्रतीत होता है।
- ✅ निष्कर्ष: रिलेशन ट्रांजिटिव है।
4. Irreflexive (अस्व-सम्बन्धी):
यदि सेट के किसी भी तत्व aa के लिए (a,a)∉R(a,a) \notin R हो, तो रिलेशन इर्रिफ्लेक्सिव होता है।
- यहाँ (1,1),(2,2),(3,3)(1,1), (2,2), (3,3) मौजूद हैं।
- ❌ निष्कर्ष: रिलेशन इर्रिफ्लेक्सिव नहीं है।
5. Antisymmetric (प्रतिसममित):
यदि (a,b)∈R(a,b) \in R और (b,a)∈R(b,a) \in R होने पर a=ba = b हो, तो रिलेशन एंटीसिमेट्रिक होता है।
- उदाहरण के लिए, (2,1)∈R(2,1) \in R, लेकिन (1,2)∉R(1,2) \notin R, इसलिए यह गुण सत्य हो सकता है।
- हालांकि, चूंकि सममितता नहीं है, इसलिए एंटीसिमेट्रिक होने की संभावना बनी रहती है।
- ✅ निष्कर्ष: रिलेशन एंटीसिमेट्रिक हो सकता है।
✅ सही उत्तर:
विकल्प B: Neither Reflexive, nor Irreflexive but Transitive
📚 अधिक जानकारी के लिए:
- GATEOverflow पर प्रश्न विश्लेषण:
- ExamSIDE पर प्रश्न और उत्तर:
- GATE 1998 प्रश्नपत्र (PDF):
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